Çarpanlar ve Katlar 8. Sınıf Konu Anlatımı ve Çözümlü EBOB-EKOK Problemleri

Ceren Yılmaz · 26 Ekim 2026

Çarpan, bir sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayıdır; kat ise sayının 1, 2, 3, … ile çarpılmasıyla bulunur. Örneğin 12’nin çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12’dir; katları 12, 24, 36, … diye sonsuza kadar gider. 8. sınıf çarpanlar ve katlar konusu üç kazanımdan oluşur: çarpanları bulup üslü ifadelerle yazma, EBOB-EKOK ve problemleri, iki sayının aralarında asal olup olmadığını belirleme.

Eylül 2026 itibarıyla 8. sınıf matematik 2018 öğretim programıyla işleniyor; çarpanlar ve katlar bu programın ilk konusu. Ders saatlerine göre konu çoğu okulda Eylül ayında işlenir. 8. sınıf 1. dönem 1. yazılısının kapsamındadır ve LGS’de de her yıl soru gelmiştir. Aşağıda önce konunun özetini, sonra yazılıda en çok soru gelen kısım olan EBOB-EKOK problemlerini adım adım çözümleriyle bulabilirsiniz.

Çarpan ve kat nedir?

• Çarpan (bölen): Sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılardır. Her sayının sınırlı sayıda çarpanı vardır; 1 ve sayının kendisi her zaman çarpandır.
• Kat: Sayının 1, 2, 3, … ile çarpımıdır. Bir sayının katları sonsuza kadar devam eder.

Çarpanları eksiksiz bulmanın yolu çarpım çiftleridir. 48’in çarpanlarını bulmak için 1’den başlayıp çarpımı 48 olan çiftleri sırayla yazın:

1 · 48 → 2 · 24 → 3 · 16 → 4 · 12 → 6 · 8

5 ve 7 sayıları 48’i bölmüyor. 7 · 7 = 49 sayısı 48’den büyük olduğu için 7’den sonra yeni bir çift çıkmaz; arama burada biter. 48’in çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 (10 tane).

Bir sayının 2, 3, 4 gibi sayılara bölünüp bölünmediğini bölme yapmadan görmek için bölünebilme kuralları işinizi hızlandırır.

Asal çarpanlara ayırma ve çarpan sayısı

8. sınıfta çarpanları bulmanın yanında sayıyı asal çarpanlarının üslü ifadeleriyle yazmak da isteniyor. Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye devam edin:

540 → 270 → 135 → 45 → 15 → 5 → 1 (bölenler sırasıyla 2, 2, 3, 3, 3, 5)

540 = 2² · 3³ · 5

Asal sayıların listesi ve çarpan ağacı için asal sayılar, üslü yazımın kuralları için üslü ifadeler yazılarımıza bakabilirsiniz.

Kısa yol: çarpan sayısı. Asal çarpanların üslerini birer artırıp çarpın. 540 = 2² · 3³ · 5¹ için (2 + 1) · (3 + 1) · (1 + 1) = 24 çarpan vardır. 48 = 2⁴ · 3¹ için (4 + 1) · (1 + 1) = 10 çıkar; yukarıda tek tek bulduğumuz sayıyla aynı. Bu yol programda ayrı bir kazanım değil ama çarpanları eksiksiz yazıp yazmadığınızı kontrol etmenin pratik bir yolu.

EBOB ve EKOK nedir?

• EBOB (en büyük ortak bölen): İki sayıyı da kalansız bölen en büyük sayıdır.
• EKOK (en küçük ortak kat): İki sayının da katı olan en küçük sayıdır.

İki sayıyı asal çarpanlarına ayırdıktan sonra:

• EBOB için yalnızca ortak asal çarpanları alın, her birinin küçük üssünü seçin.
• EKOK için bütün asal çarpanları alın, her birinin büyük üssünü seçin.

Örnek 1. 48 ve 180 sayılarının EBOB ve EKOK’unu bulunuz.

1. Asal çarpanlara ayırın: 48 = 2⁴ · 3 ve 180 = 2² · 3² · 5.
2. Ortak asal çarpanlar 2 ve 3. Küçük üsler 2² ve 3¹ → EBOB = 2² · 3 = 12.
3. Bütün asal çarpanlar 2, 3 ve 5. Büyük üsler 2⁴, 3² ve 5¹ → EKOK = 2⁴ · 3² · 5 = 720.
4. Kontrol: 12 · 720 = 8.640 ve 48 · 180 = 8.640.

Okulda sık kullanılan bölme tablosu yöntemini kendi sayılarınızla adım adım görmek için EBOB EKOK hesaplama aracımızı kullanabilirsiniz. Problemlerde işe yarayan özellikler:

Özellik	Örnek
EBOB, sayıların küçüğünden büyük olamaz; EKOK, büyüğünden küçük olamaz.	48 ve 180 → EBOB 12, EKOK 720
Sayılardan biri diğerinin katıysa EBOB küçük sayı, EKOK büyük sayıdır.	15 ve 45 → EBOB 15, EKOK 45
Sayılar aralarında asalsa EBOB 1, EKOK sayıların çarpımıdır.	8 ve 21 → EBOB 1, EKOK 168
İki sayının EBOB’u ile EKOK’unun çarpımı, sayıların çarpımına eşittir.	12 · 720 = 48 · 180 = 8.640

Aralarında asal sayılar nedir?

1’den başka ortak böleni olmayan, yani EBOB’u 1 olan iki sayıya aralarında asal sayılar denir. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez:

• 14 ve 45: 14 = 2 · 7 ve 45 = 3² · 5. Ortak asal çarpan yok, EBOB = 1 → aralarında asaldır. Oysa ikisi de asal değildir.
• 39 ve 65: 39 = 3 · 13 ve 65 = 5 · 13. İkisi de 13’e bölünüyor, EBOB = 13 → aralarında asal değildir.

Kısa yollar: 1 her pozitif tam sayıyla aralarında asaldır. Ardışık iki sayı (20 ve 21) ile farklı iki asal sayı (13 ve 17) her zaman aralarında asaldır. Payı ve paydası aralarında asal olan bir kesir de sadeleşmez: 14/45 en sade hâlindedir, 39/65 ise 13’e bölünerek 3/5 olur.

EBOB-EKOK problemleri nasıl çözülür?

Problemi çözmeye başlamadan önce kendinize şunu sorun: Bir bütünü parçalara mı ayırıyorum, yoksa tekrar eden olayların buluşacağı anı mı arıyorum?

• EBOB (küçültme): eşit ve en büyük parçalara ayırma, içeriği aynı olan en fazla sayıda paket hazırlama, eşit aralıklarla en az sayıda fidan dikme. Bulunan EBOB, verilen sayıların hiçbirinden büyük olamaz.
• EKOK (büyütme): aynı anda çalan ziller, aynı güne denk gelen nöbetler, yeniden hizalanan çarklar. Bulunan EKOK, verilen sayıların hiçbirinden küçük olamaz.

Örnek 2 (EBOB, paketleme). Bir kırtasiyeci 96 kurşun kalem ile 132 silgiyi, hiç artmayacak ve her pakette eşit sayıda kalem ile eşit sayıda silgi olacak şekilde paketleyecektir. En fazla kaç paket hazırlanabilir? Bir pakette kaç kalem ve kaç silgi olur?

1. Paket sayısı hem 96’yı hem 132’yi kalansız bölmeli. En fazla paket istendiği için EBOB aranır.
2. 96 = 2⁵ · 3 ve 132 = 2² · 3 · 11 → EBOB = 2² · 3 = 12 paket.
3. Bir pakette 96 ÷ 12 = 8 kalem ve 132 ÷ 12 = 11 silgi bulunur.

Örnek 3 (EBOB, fidan dikme). Kenar uzunlukları 45 m ve 60 m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin kenarlarına, her köşede bir fidan olacak şekilde ve eşit aralıklarla fidan dikilecektir. En az kaç fidan gerekir?

1. Köşelere fidan geleceği için aralık hem 45’i hem 60’ı tam bölmeli. En az fidan için aralık en büyük olmalı: 45 = 3² · 5 ve 60 = 2² · 3 · 5 → EBOB = 3 · 5 = 15 m.
2. Bahçenin çevresi: 2 · (45 + 60) = 210 m.
3. Kapalı bir çevrede fidan sayısı aralık sayısına eşittir: 210 ÷ 15 = 14 fidan.

Dikkat: Fidanlar düz bir yolun iki ucu dâhil dikilseydi fidan sayısı aralık sayısından 1 fazla olurdu. Kapalı bir çevrede başlangıç ve bitiş noktasındaki fidan aynı olduğu için bu fark oluşmaz.

Örnek 4 (EKOK, dişli çark). 36 dişli bir çark ile 48 dişli bir çark birbirine geçmiş hâlde dönüyor. Başlangıçta iki çarkın işaretli dişleri temas noktasında karşı karşıya. İşaretli dişler ilk kez yeniden karşılaştığında küçük çark kaç tur, büyük çark kaç tur dönmüş olur?

1. Çarklar döndükçe temas noktasından iki çarkın da aynı sayıda dişi geçer. Küçük çarkın işaretli dişi her 36 dişte, büyük çarkınki her 48 dişte temas noktasına geri gelir.
2. İki işaretli dişin aynı anda gelmesi için geçen diş sayısı hem 36’nın hem 48’in katı olmalı. İlk karşılaşma için EKOK aranır: 36 = 2² · 3² ve 48 = 2⁴ · 3 → EKOK = 2⁴ · 3² = 144 diş.
3. Küçük çark 144 ÷ 36 = 4 tur, büyük çark 144 ÷ 48 = 3 tur döner.

Örnek 5 (EKOK, kalanlı bölme). Bir kutudaki cevizler 8’erli gruplara ayrıldığında 3 ceviz, 12’şerli gruplara ayrıldığında da 3 ceviz artıyor. Kutuda 100’den az ceviz olduğuna göre kutuda en fazla kaç ceviz olabilir?

1. İki durumda da 3 ceviz artıyor. Bu 3 ceviz çıkarılırsa kalan sayı hem 8’e hem 12’ye tam bölünür.
2. 8’in ve 12’nin ortak katları, EKOK’larının katlarıdır: EKOK(8, 12) = 24 → 24, 48, 72, 96, …
3. Ceviz sayısı bunlardan 3 fazladır: 27, 51, 75, 99, … 100’den küçük en büyük değer 99.
4. Kontrol: 99 = 8 · 12 + 3 ve 99 = 12 · 8 + 3.

8. sınıf çarpanlar ve katlar: yazılı ve LGS

• 1. yazılı: MEB’in 7 Eylül 2026’da yayımladığı konu-soru dağılım tablosuna göre 8. sınıf 1. dönem 1. yazılısı için 6 senaryo var ve hepsinde EBOB-EKOK kazanımından 1 ile 3 arasında soru bulunuyor. Çarpanlar ve katlar konusundan senaryoya göre toplam 2 ile 4 arasında soru geliyor (ÖDSGM 2026-2027 konu-soru dağılım tabloları).
• LGS: Kamuya açık analizlere göre 2018-2025 arasında her yıl 1 ile 3 arasında çarpanlar ve katlar sorusu geldi; kaynaklar arasında 1 soruluk farklar görülebiliyor. Yıllara göre tablo 8. sınıf matematik konuları yazımızda.
• Program notu: Öğretim programındaki açıklamaya göre bu kazanımda alan ve hacim hesaplamayı gerektiren EBOB-EKOK problemlerine girilmez (MEB 2018 Matematik Öğretim Programı).

Sınavlarda sık yapılan hatalar:

1. EBOB ile EKOK’u karıştırmak. Sonucu kontrol edin: EBOB sayıların küçüğünden büyük, EKOK büyüğünden küçük çıktıysa yanlış yoldasınız.
2. Çarpanları yazarken 1’i ya da sayının kendisini unutmak. Çarpım çiftleriyle yazmak bu hatayı önler.
3. Aralarında asal sayıların asal olması gerektiğini düşünmek. 14 ve 45 asal değildir ama aralarında asaldır.
4. Açık yol ile kapalı çevreyi karıştırmak. İki ucuna fidan dikilen düz yolda fidan sayısı aralık sayısından 1 fazladır, kapalı çevrede eşittir.

Alıştırmalar (cevaplı)

1. 84 sayısının kaç tane pozitif çarpanı vardır?
2. 54 ve 72 sayılarının EBOB ve EKOK’unu bulunuz.
3. 25 ve 36 aralarında asal mıdır?
4. 150 cm ve 210 cm uzunluğundaki iki kurdele, hiç artmayacak şekilde eşit ve olabildiğince uzun parçalara kesilecektir. Toplam kaç parça elde edilir?
5. Elif 10 günde bir, Deniz 12 günde bir kütüphaneye gidiyor. İkisi bir pazartesi günü kütüphanede karşılaştı. Bir sonraki karşılaşmaları hangi gün olur?

Cevaplar:

1. 84 = 2² · 3 · 7 → (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 12 çarpan (1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84).
2. 54 = 2 · 3³ ve 72 = 2³ · 3² → EBOB = 2 · 3² = 18, EKOK = 2³ · 3³ = 216.
3. Evet: 25 = 5², 36 = 2² · 3²; ortak asal çarpan yok. İkisi de asal olmadığı hâlde aralarında asaldır.
4. Parça uzunluğu EBOB(150, 210) = 30 cm → 150 ÷ 30 + 210 ÷ 30 = 5 + 7 = 12 parça.
5. EKOK(10, 12) = 60 gün. 60 = 7 · 8 + 4 olduğu için 8 hafta sonra yine pazartesi, 4 gün sonra cuma.

Asal çarpanlara ayırma, sıradaki konular olan üslü ve kareköklü ifadelerde de kullanılıyor. √200 = √(10² · 2) = 10√2 gibi sadeleştirmeler, sayının çarpanlarını tanımaya dayanıyor.

Sık sorulan sorular

Çarpan ile kat arasındaki fark nedir?

Çarpan, bir sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayıdır; kat ise sayının 1, 2, 3, … ile çarpılmasıyla bulunur. Örneğin 6, 18'in çarpanıdır; 36 ise 18'in katıdır. Bir sayının çarpanları sınırlı sayıdadır, katları ise sonsuza kadar devam eder.

EBOB ve EKOK asal çarpanlarla nasıl bulunur?

İki sayı asal çarpanlarına ayrılır. EBOB için yalnızca ortak asal çarpanlar alınır ve her birinin küçük üssü seçilir; EKOK için bütün asal çarpanlar alınır ve her birinin büyük üssü seçilir. 48 = 2⁴ · 3 ve 180 = 2² · 3² · 5 için EBOB = 2² · 3 = 12, EKOK = 2⁴ · 3² · 5 = 720 olur.

Aralarında asal sayılar nedir?

1'den başka ortak böleni olmayan, yani EBOB'u 1 olan iki sayıya aralarında asal sayılar denir. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez: 14 = 2 · 7 ve 45 = 3² · 5 asal değildir ama ortak asal çarpanları olmadığı için aralarında asaldır. 1 ise her pozitif tam sayıyla aralarında asaldır.

Bir sayının kaç çarpanı olduğu nasıl bulunur?

Sayı asal çarpanlarına ayrılır, her asal çarpanın üssü 1 artırılır ve bu sayılar çarpılır. Örneğin 540 = 2² · 3³ · 5 için (2 + 1) · (3 + 1) · (1 + 1) = 24 pozitif çarpan vardır. Küçük sayılarda çarpanlar, çarpımı o sayıyı veren çiftler yazılarak da bulunabilir.

Çarpanlar ve katlar LGS'de kaç soru çıkıyor?

Kamuya açık analizlere göre LGS'de çarpanlar ve katlardan 2018-2025 arasında her yıl 1 ile 3 arasında soru geldi; kaynaklar arasında 1 soruluk farklar olabilir. Konu 2026-2027'de 8. sınıf 1. dönem 1. yazılısının da kapsamındadır ve MEB tablosundaki altı senaryonun hepsinde EBOB-EKOK sorusu bulunur.