Asal sayı, 1’den büyük olan ve yalnızca 1’e ve kendisine tam bölünen doğal sayıdır. Başka bir deyişle asal sayıların tam iki pozitif böleni vardır. 2, 3, 5, 7 ve 11 asal sayılara örnektir. 4 ise 2’ye de bölündüğü için asal değildir, bileşik sayıdır.
Asal sayılar ortaokulda iki kez karşımıza çıkıyor: 6. sınıfta “Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar” konusunda, 8. sınıfta da LGS’nin ilk ünitesi olan “Çarpanlar ve Katlar”da. Aşağıda listeyi, bir sayının asal olup olmadığını anlamanın kısa yolunu ve çözümlü örnekleri bulabilirsiniz.
1’den 100’e kadar asal sayılar
1’den 100’e kadar 25 asal sayı var. Tabloda asal sayılar işaretli:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
| 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
| 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
| 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 |
| 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |
| 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 |
| 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 |
Liste: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Tablodan çıkan birkaç kural:
- 2 dışında hiçbir çift sayı asal değil. Hepsi 2’ye bölünür.
- 5 dışında sonu 5 ya da 0 ile biten sayılar asal değil. Hepsi 5’e bölünür.
- İki basamaklı 21 asal sayı var. En küçüğü 11, en büyüğü 97.
- 2’den büyük bütün asal sayılar tek sayıdır, ama her tek sayı asal değildir. 9, 15, 21, 27, 33… bileşik sayılardır.
100’den 200’e kadar asal sayılar
101 ile 200 arasında 21 asal sayı var:
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
1’den 200’e kadar toplam 46, 1’den 1000’e kadar toplam 168 asal sayı bulunur.
Bir sayının asal olup olmadığı nasıl anlaşılır?
Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için bütün sayılara bölmek gerekmez. Sayının karekökünü geçmeyen asal sayılara bölmek yeterlidir:
- Sayının karekökünü yaklaşık bulun. (Tam kareleri bilmek işi hızlandırır: 7² = 49, 10² = 100, 11² = 121.)
- Karekökten küçük ya da ona eşit asal sayıları sırayla deneyin: 2, 3, 5, 7, 11…
- Hiçbirine tam bölünmüyorsa sayı asaldır. Birine bölünüyorsa bileşiktir.
Örnek 1: 97 asal mı? 9² = 81 < 97 < 100 = 10² olduğu için √97 sayısı 10’dan küçük. Denenecek asal sayılar 2, 3, 5 ve 7. 97 tek sayı (2’ye bölünmez), rakamları toplamı 16 (3’e bölünmez), sonu 7 (5’e bölünmez), 7 × 13 = 91 ve 7 × 14 = 98 (7’ye bölünmez). 97 asaldır.
Örnek 2: 91 asal mı? √91 yine 10’dan küçük. 91 sayısı 2, 3 ve 5’e bölünmüyor ama 91 = 7 × 13. 91 asal değildir.
Sınavlarda en çok “asal gibi görünen” bileşik sayılar yanıltıyor: 51 = 3 × 17, 57 = 3 × 19, 87 = 3 × 29, 91 = 7 × 13. Bu sayıların ilk üçü 3’e bölünüyor: rakamları toplamı 3’ün katı olan her sayı 3’e bölünür (5 + 1 = 6, 5 + 7 = 12, 8 + 7 = 15).
Eratosthenes kalburu: asal sayıları bulmanın en eski yolu
MÖ 3. yüzyılda yaşayan Eratosthenes’in yöntemi, 1’den 100’e kadar olan tabloyu kendi başınıza oluşturmanızı sağlar:
- 1’i silin (asal değil).
- 2’yi daire içine alın, 2’nin bütün katlarını (4, 6, 8…) silin.
- Silinmemiş ilk sayı 3: daire içine alın, 3’ün katlarını silin.
- Sonra 5 ve 7 için aynısını yapın.
- 7’den sonra durabilirsiniz, çünkü 11² = 121 zaten 100’den büyük. Silinmeden kalan bütün sayılar asaldır.
Bu yöntemi öğrenciye bir kez kâğıt üzerinde yaptırmak, listeyi ezberletmekten çok daha kalıcıdır. Bir sayının neden asal olduğunu da açıklamış olur.
Asal çarpanlara ayırma
Her bileşik sayı, asal sayıların çarpımı olarak tek bir şekilde yazılabilir. Buna asal çarpanlara ayırma denir.
Örnek: 60’ı asal çarpanlarına ayıralım.
| Adım | İşlem | Kalan |
|---|---|---|
| 1 | 60 ÷ 2 = 30 | 30 |
| 2 | 30 ÷ 2 = 15 | 15 |
| 3 | 15 ÷ 3 = 5 | 5 |
| 4 | 5 ÷ 5 = 1 | 1 |
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² · 3 · 5. Asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir.
Asal çarpanlar, EBOB ve EKOK hesabının da temelidir. İki ya da üç sayının asal çarpanlarını ve bölme tablosunu EBOB EKOK hesaplama aracımızla adım adım görebilirsiniz.
Aralarında asal sayılar
İki sayının 1’den başka ortak böleni yoksa bu sayılara “aralarında asal” denir. Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez:
- 8 ve 15 aralarında asaldır (8 = 2³, 15 = 3 · 5, ortak asal çarpan yok) ama ikisi de asal değildir.
- Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır: 14 ve 15, 99 ve 100.
- Farklı iki asal sayı her zaman aralarında asaldır: 7 ve 11.
8. sınıfta “iki doğal sayının aralarında asal olup olmadığını belirleme” ayrı bir kazanım olarak yer alıyor ve 1. dönem yazılılarında sorulabiliyor.
Konuyu pekiştirmek için 5 soru
- 1’den 50’ye kadar kaç asal sayı vardır?
- 119 asal mıdır?
- 84 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.
- İki basamaklı en büyük asal sayı ile en küçük asal sayının toplamı kaçtır?
- 21 ve 40 aralarında asal mıdır?
Cevaplar:
- 15 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47).
- Hayır: √119 < 11. 119 sayısı 2, 3 ve 5’e bölünmez ama 119 = 7 × 17.
- 84 = 2² · 3 · 7 (84 → 42 → 21 → 7 → 1; bölenler 2, 2, 3, 7).
- 99: en büyük iki basamaklı asal 97, en küçük asal 2 → 97 + 2 = 99.
- Evet: 21 = 3 · 7, 40 = 2³ · 5; ortak asal çarpan yok.
Asal sayılar ve çarpanlar, 6. sınıfın ilk teması ve 8. sınıfın ilk ünitesi. Yıl başındaki bu konular sonraki bütün konuların temeli olduğu için eksik kalmamalı. Sınıflara göre konu sırasını 6. sınıf ve 8. sınıf matematik konuları yazılarında bulabilirsiniz.
Sık sorulan sorular
Asal sayı nedir?
Asal sayı, 1'den büyük olan ve 1 ile kendisinden başka pozitif böleni bulunmayan doğal sayıdır. Örneğin 7 yalnızca 1'e ve 7'ye bölündüğü için asaldır; 9 ise 3'e de bölündüğü için asal değildir.
1 asal sayı mıdır?
Hayır. Asal sayıların tam iki farklı pozitif böleni olmalıdır. 1'in tek böleni kendisidir, bu yüzden 1 ne asal ne de bileşik sayıdır.
1'den 100'e kadar kaç asal sayı var?
1'den 100'e kadar 25 asal sayı vardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97. 1'den 1000'e kadar ise 168 asal sayı vardır.
En küçük asal sayı kaçtır?
En küçük asal sayı 2'dir. 2 aynı zamanda tek çift asal sayıdır; 2'den büyük bütün çift sayılar 2'ye bölündüğü için asal olamaz.
Bir sayının asal olup olmadığı nasıl anlaşılır?
Sayının karekökünü geçmeyen asal sayılarla bölünüp bölünmediğine bakılır. Hiçbirine tam bölünmüyorsa sayı asaldır. Örneğin 97 için karekök 10'dan küçüktür; 97 sayısı 2, 3, 5 ve 7'ye bölünmediği için asaldır.
Asal sayılar sonsuz mudur?
Evet. Asal sayıların sonsuz sayıda olduğu, Öklid'in yaklaşık 2300 yıl önce verdiği bir ispatla bilinir: hangi asal sayılar listesini yazarsanız yazın, listede olmayan yeni bir asal sayı bulunabilir.