Tam kare sayılar bir doğal sayının kendisiyle çarpımıdır: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Örneğin 49 = 7 × 7 = 7². 1’den 100’e kadar 10, 1’den 1000’e kadar 31 tam kare vardır. 0 da tam karedir (0 = 0²). Bir sayı tam kare ise karekökü doğal sayıdır: √81 = 9. Son rakamı 2, 3, 7 veya 8 olan sayı tam kare olamaz.
Tam kare sayılar 8. sınıfta Kareköklü İfadeler konusunun ilk kazanımı ve 2026-2027’de 8. sınıf 1. dönem 1. yazılının kapsamında. LGS’de her yıl soru gelen kareköklü ifadeler, tam kareleri hızlı tanımaya dayanıyor.
1’den 1000’e kadar tam kare sayılar
1’den 1000’e kadar 31 tam kare vardır:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961
- 1’den 100’e kadar (10 tane): 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
- 1’den 20’ye kadar (4 tane): 1, 4, 9, 16
- 3 basamaklı en küçük tam kare 100 = 10², en büyüğü 961 = 31².
- 1’den 10.000’e kadar 100 tam kare vardır; en büyüğü 100² = 10.000. Hepsi aşağıdaki tablolarda.
1’den 30’a kadar kareler tablosu
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
| n | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | 400 |
| n | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 | 900 |
1’den 1000’e kadar 31 tam kare var. En büyüğü 31² = 961, çünkü 32² = 1024.
31’den 100’e kadar kareler tablosu
| n | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 961 | 1.024 | 1.089 | 1.156 | 1.225 | 1.296 | 1.369 | 1.444 | 1.521 | 1.600 |
| n | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 1.681 | 1.764 | 1.849 | 1.936 | 2.025 | 2.116 | 2.209 | 2.304 | 2.401 | 2.500 |
| n | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 2.601 | 2.704 | 2.809 | 2.916 | 3.025 | 3.136 | 3.249 | 3.364 | 3.481 | 3.600 |
| n | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 3.721 | 3.844 | 3.969 | 4.096 | 4.225 | 4.356 | 4.489 | 4.624 | 4.761 | 4.900 |
| n | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 5.041 | 5.184 | 5.329 | 5.476 | 5.625 | 5.776 | 5.929 | 6.084 | 6.241 | 6.400 |
| n | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 6.561 | 6.724 | 6.889 | 7.056 | 7.225 | 7.396 | 7.569 | 7.744 | 7.921 | 8.100 |
| n | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n² | 8.281 | 8.464 | 8.649 | 8.836 | 9.025 | 9.216 | 9.409 | 9.604 | 9.801 | 10.000 |
Ezberlemeye değer olanlar: 1’den 20’ye kadar kareler ile 25² = 625 ve 30² = 900. Sonu 5 ile biten sayıların karesinin kısa yolu: 25² için 2 × 3 = 6, sonuna 25 → 625; 35² için 3 × 4 = 12, sonuna 25 → 1225.
0 tam kare sayı mıdır?
Evet. 0 = 0 × 0 = 0² olduğu için 0 bir tam karedir ve √0 = 0’dır. Ders kitaplarında ve sınav sorularında genellikle pozitif tam kareler sorulur; soru “1’den 100’e kadar” diyorsa 0 sayılmaz, “0’dan 100’e kadar” diyorsa sayılır (o zaman 11 tane olur).
Bu sayı tam kare mi? Hızlı kontrol tablosu
| Sayı | Tam kare mi? | Neyin karesi? / Neden değil? |
|---|---|---|
| 2 | Hayır | Son rakam 2; 1² = 1 ile 2² = 4 arasında |
| 225 | Evet | 15² |
| 361 | Evet | 19² (361 neyin karesi → 19) |
| 441 | Evet | 21² |
| 576 | Evet | 24² |
| 625 | Evet | 25² |
| 750 | Hayır | 27² = 729 ile 28² = 784 arasında |
| 3.600 | Evet | 60² (36 · 100 = 6² · 10²) |
Listede olmayan bir sayı için sayıyı karekök hesaplama aracına yazmanız yeterli: tam kareyse kökünü, değilse hangi iki doğal sayı arasında olduğunu gösterir.
Neden “kare” sayı deniyor?
Bir tam kare kadar birim kareyi yan yana dizerek tam bir kare oluşturabilirsiniz: 9 birim kare 3 × 3’lük, 16 birim kare 4 × 4’lük bir kare olur. 12 birim kareyle ise kare yapamazsınız; 3 × 4’lük bir dikdörtgen çıkar.
Bu yüzden alanı tam kare olan bir karenin kenar uzunluğu doğal sayıdır. Alanı 144 cm² olan karenin kenarı 12 cm’dir. Karekök alma, “alanı verilen karenin kenarını bulma” demektir.
Tam kare sayıların özellikleri
1. Son rakam kuralı. Bir tam karenin son rakamı yalnızca 0, 1, 4, 5, 6 veya 9 olabilir. Son rakamı 2, 3, 7 veya 8 olan sayı tam kare değildir. Örnek: 2.748 tam kare olamaz (son rakam 8). Dikkat: son rakamın uygun olması sayının tam kare olduğunu göstermez; 21’in son rakamı 1’dir ama tam kare değildir.
2. Asal çarpan kuralı. Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırdığınızda bütün üsler çift ise sayı tam karedir.
| Sayı | Asal çarpanlar | Üsler | Tam kare mi? |
|---|---|---|---|
| 144 | 2⁴ · 3² | 4 ve 2, hepsi çift | Evet, 12² |
| 324 | 2² · 3⁴ | 2 ve 4, hepsi çift | Evet, 18² |
| 180 | 2² · 3² · 5 | 5’in üssü 1, tek | Hayır |
| 200 | 2³ · 5² | 2’nin üssü 3, tek | Hayır |
3. Ardışık kareler arasındaki fark. n² ile (n + 1)² arasındaki fark 2n + 1’dir: 1, 3, 5, 7, 9… ardışık tek sayılar. Örneğin 20² = 400 ise 21² = 400 + 41 = 441.
4. Çarpan sayısı. 1’den büyük tam karelerin çarpan sayısı tektir, diğer sayılarınki çifttir. 36’nın çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 → 9 tane; 6 kendisiyle eşleşiyor.
Tam kare yapmak için en küçük çarpan
8. sınıfta sık gelen bir soru tipi: “Bir sayıyı en küçük hangi doğal sayıyla çarparsak tam kare olur?” Asal çarpanlara ayırıp üssü tek kalan çarpanları tamamlamak yeterli.
Örnek: 180’i en küçük hangi doğal sayıyla çarparsak tam kare olur? 180 = 2² · 3² · 5 → yalnızca 5’in üssü tek → 5 ile çarpılmalı. 180 · 5 = 900 = 30².
Örnek: 72 sayısını tam kare yapmak için en küçük hangi doğal sayıyla çarpmalıyız? 72 = 2³ · 3² → 2’nin üssü tek → 2 ile çarpılmalı. 72 · 2 = 144 = 12².
Aynı mantık “√180 ile hangi kareköklü ifade çarpılırsa sonuç doğal sayı olur?” sorusunda da işe yarar: √180 · √5 = √900 = 30.
Ondalık tam kareler
Ondalık sayıların karekökü de tam karelere dayanır:
- 0,25 = 25/100 → √0,25 = 5/10 = 0,5
- 1,44 = 144/100 → √1,44 = 12/10 = 1,2
- 0,0081 = 81/10.000 → √0,0081 = 9/100 = 0,09
Kısa kural: virgülden sonraki basamak sayısı çift olmalı ve virgül kaldırılınca kalan sayı tam kare olmalı. Karekökte virgülden sonraki basamak sayısı yarıya iner.
Tam kare olmayan sayıların karekökü
Tam kare olmayan bir sayının karekökü doğal sayı değildir ama iki ardışık doğal sayı arasındadır:
144 < 150 < 169 → 12 < √150 < 13
150, 169’dan çok 144’e yakın olduğu için √150 de 12’ye daha yakındır (≈ 12,25). Herhangi bir sayı için bu adımları, a√b sadeleştirmesini ve yaklaşık değeri karekök hesaplama aracımızla adım adım görebilirsiniz.
Alıştırmalar (cevaplı)
- 1.369 bir tam kare midir? Hangi sayının karesidir?
- 2.023 sayısının tam kare olmadığını bölme yapmadan gösteriniz.
- 98 sayısını tam kare yapmak için en küçük hangi doğal sayıyla çarpmalıyız?
- √0,49 + √1,21 işleminin sonucu kaçtır?
- 400 ile 500 arasında kaç tam kare sayı vardır?
Cevaplar:
- Evet, 37². 1.369 son rakamı 9 → 3 ya da 7 ile biten bir sayının karesi olabilir; 30² = 900 ile 40² = 1600 arasında; 37² = 1.369.
- Son rakamı 3 olduğu için tam kare olamaz.
- 98 = 2 · 7² → 2’nin üssü tek → 2 ile çarpılmalı (196 = 14²).
- 0,7 + 1,1 = 1,8
- 21² = 441 ve 22² = 484 (20² = 400 ve 23² = 529 aralığın dışında) → 2 tane.
Sık sorulan sorular
Tam kare sayı nedir?
Tam kare sayı, bir doğal sayının kendisiyle çarpılmasıyla elde edilen sayıdır. Örneğin 49 = 7 × 7 = 7² olduğu için 49 bir tam karedir. İlk tam kareler 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ve 100'dür.
1'den 100'e kadar kaç tam kare sayı var?
1'den 100'e kadar 10 tam kare sayı vardır: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ve 100. 1'den 1000'e kadar ise 31 tam kare vardır; en büyüğü 31² = 961'dir.
Bir sayının tam kare olup olmadığı nasıl anlaşılır?
Önce son rakama bakılır: son rakamı 2, 3, 7 veya 8 olan sayı tam kare olamaz. Sonra sayı asal çarpanlarına ayrılır: bütün asal çarpanların üsleri çift ise sayı tam karedir. Örneğin 324 = 2² · 3⁴ tam karedir (18²), 180 = 2² · 3² · 5 ise 5'in üssü tek olduğu için tam kare değildir.
0 tam kare sayı mıdır?
Evet, 0 = 0 × 0 olduğu için 0 da tam kare kabul edilir. Ancak ortaokul sorularında genellikle pozitif tam kareler (1, 4, 9, …) sorulur.
361 neyin karesidir?
361, 19'un karesidir: 19 × 19 = 361. Son rakamı 1 olduğu için 1 ya da 9 ile biten bir sayının karesi olmalı; 19² = 361 tutar.
Tam kare sayılar kaçıncı sınıf konusu?
Tam kare sayılar 8. sınıfta Kareköklü İfadeler konusunun ilk kazanımıdır ve 2026-2027 8. sınıf 1. dönem 1. yazılı sınavının kapsamındadır. LGS'de kareköklü ifadeler sorularının temelini oluşturur.