Rasyonel sayı, a ve b birer tam sayı ve b ≠ 0 olmak üzere a/b şeklinde yazılabilen sayıdır. 3/4, −2/5, 0,5 (= 1/2) ve 7 (= 7/1) rasyonel sayılara örnektir. Rasyonel sayılar kümesi Q harfiyle gösterilir.
2026-2027’de rasyonel sayılar 7. sınıfın ilk temasında tam sayılarla birlikte işleniyor ve 7. sınıf 1. yazılının tamamı bu konulardan. Tam sayılardaki işaret kurallarını henüz oturtmadıysanız önce tam sayılar yazısına göz atmanızı öneririz.
Sayı kümeleri: doğal, tam, rasyonel
| Küme | Gösterim | Örnekler | İçinde olanlar |
|---|---|---|---|
| Doğal sayılar | N | 0, 1, 2, 3, … | — |
| Tam sayılar | Z | …, −2, −1, 0, 1, 2, … | Doğal sayılar |
| Rasyonel sayılar | Q | −3/4, 0, 1/2, 2,5, 7 | Tam sayılar ve doğal sayılar |
- Her tam sayı rasyoneldir: −4 = −4/1.
- Her rasyonel sayı tam sayı değildir: 1/2 rasyoneldir, tam sayı değildir.
- Rasyonel olmayan sayılar da var: π ve √2 gibi sayılar a/b biçiminde yazılamaz. Bunlar 8. sınıfta irrasyonel sayılar olarak işlenir.
Rasyonel sayıları sayı doğrusunda gösterme
Bir rasyonel sayıyı sayı doğrusunda göstermek için önce hangi iki tam sayı arasında olduğu bulunur, sonra bu aralık paydanın gösterdiği sayıda eş parçaya bölünür.
- 3/4: 0 ile 1 arasını 4 eş parçaya bölün, 0’dan sağa 3 parça gidin.
- −3/4: 0 ile −1 arasını 4 eş parçaya bölün, 0’dan sola 3 parça gidin.
- 7/3 = 2 1/3: 2 ile 3 arasını 3 eş parçaya bölün, 2’den sağa 1 parça gidin.
Rasyonel sayıların ilginç bir özelliği var: iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı bulunur. Örneğin 1/2 ile 3/4’ün tam ortası (1/2 + 3/4) ÷ 2 = 5/8’dir. 1/2 ile 5/8 arasına da yine yeni bir sayı sığar ve bu böyle sürüp gider.
Ondalık gösterim: sonlu ve devirli
Her rasyonel sayı, payın paydaya bölünmesiyle ondalık gösterime çevrilir.
Sonlu ondalık gösterim: Bölme bir noktada biter. 3/8 = 3 ÷ 8 = 0,375 · 7/20 = 0,35 · −5/4 = −1,25
Devirli ondalık gösterim: Virgülden sonra bir ya da birkaç basamak sonsuza kadar tekrar eder. Devreden basamakların üzerine çizgi çekilir. 1/3 = 0,333… = 0,3 5/6 = 0,8333… = 0,83 1/11 = 0,0909… = 0,09
Sonlu mu devirli mi, bölmeden anlamanın yolu: Kesri sadeleştirin ve paydayı asal çarpanlarına ayırın.
| Kesir | Sade payda | Asal çarpanlar | Gösterim |
|---|---|---|---|
| 3/8 | 8 | 2³ | Sonlu (0,375) |
| 7/20 | 20 | 2² · 5 | Sonlu (0,35) |
| 5/6 | 6 | 2 · 3 | Devirli (0,83…) |
| 6/15 | 5 (6/15 = 2/5) | 5 | Sonlu (0,4) |
| 2/7 | 7 | 7 | Devirli (0,285714…) |
Paydada yalnızca 2 ve 5 varsa gösterim sonlu, başka bir asal çarpan varsa devirlidir. 6/15 örneği, kontrolden önce sadeleştirmenin neden önemli olduğunu gösteriyor.
Rasyonel sayıları karşılaştırma ve sıralama
Üç yol var; soruya göre en kolayını seçin:
- Paydaları eşitleyin: 2/3 ile 3/4 → 8/12 ile 9/12 → 2/3 < 3/4.
- Ondalığa çevirin: 0,666… < 0,75 → aynı sonuç.
- Çapraz çarpın (pozitiflerde): 2 · 4 = 8 < 9 = 3 · 3 → 2/3 < 3/4.
Negatif sayılarda dikkat: Sayı doğrusunda sıfırdan uzaklaştıkça küçülür. 2/3 < 3/4 olduğu hâlde −2/3 > −3/4, çünkü −0,666…, −0,75’in sağındadır.
Örnek: −1/2, 2/5, −3/5, 0, 1/4 sayılarını küçükten büyüğe sıralayalım. Ondalık hâlleri: −0,5; 0,4; −0,6; 0; 0,25 → −3/5 < −1/2 < 0 < 1/4 < 2/5.
Rasyonel sayılarla dört işlem
İşaret kuralları tam sayılarla aynıdır: aynı işaretli iki sayının çarpımı ve bölümü pozitif, farklı işaretli iki sayınınki negatiftir.
| İşlem | Kural | Örnek |
|---|---|---|
| Toplama / çıkarma | Paydaları eşitle, payları topla/çıkar | −2/3 + 1/4 = −8/12 + 3/12 = −5/12 |
| Çarpma | Pay ile pay, payda ile payda çarpılır | (−3/5) · (10/9) = −30/45 = −2/3 |
| Bölme | İkinci kesir ters çevrilip çarpılır | (4/7) ÷ (−2/21) = (4/7) · (−21/2) = −6 |
İpucu: Çarpmada önce çapraz sadeleştirme yapmak işlemi küçültür: (−3/5) · (10/9) işleminde 3 ile 9’u 3’e, 10 ile 5’i 5’e bölün → (−1/1) · (2/3) = −2/3.
Günlük hayat problemleri
Örnek 1. Bir su deposunun 3/8’i doluydu. Depoya kapasitesinin 1/4’ü kadar su eklendi, sonra 1/6’sı kadar su kullanıldı. Depo şimdi kaçta kaçı dolu? 3/8 + 1/4 − 1/6 → payda 24: 9/24 + 6/24 − 4/24 = 11/24.
Örnek 2. Hava sıcaklığı sabah −2,5 °C idi. Öğlene kadar 6,25 °C arttı, akşam 4,5 °C düştü. Akşam sıcaklık kaç derecedir? −2,5 + 6,25 − 4,5 = −0,75 °C.
Örnek 3. 2 1/4 kg peynir, her biri 3/8 kg olan paketlere bölünecek. Kaç paket olur? 2 1/4 = 9/4 → 9/4 ÷ 3/8 = 9/4 · 8/3 = 72/12 = 6 paket.
Alıştırmalar (cevaplı)
- 7/12 kesrinin ondalık gösterimi sonlu mu devirli mi? Bölmeden açıklayınız.
- −5/6, −3/4, −7/8 sayılarını büyükten küçüğe sıralayınız.
- 1/3 ile 1/2 arasında bir rasyonel sayı yazınız.
- (−1/2 + 2/3) · (−6/5) işleminin sonucu kaçtır?
- Bir kitabın 2/5’i ilk gün, kalanın 1/3’ü ikinci gün okundu. Kitabın kaçta kaçı okunmadan kaldı?
Cevaplar:
- Devirli. 7/12 sade; 12 = 2² · 3 ve paydada 3 var. (7/12 = 0,58333…)
- Ondalık: −0,833…; −0,75; −0,875 → −3/4 > −5/6 > −7/8.
- Örneğin ortası: (1/3 + 1/2) ÷ 2 = (5/6) ÷ 2 = 5/12. (Başka doğru cevaplar da var, örneğin 2/5.)
- −1/2 + 2/3 = −3/6 + 4/6 = 1/6; (1/6) · (−6/5) = −1/5.
- İlk gün 2/5, kalan 3/5. İkinci gün 3/5’in 1/3’ü = 1/5. Okunan: 2/5 + 1/5 = 3/5 → kalan 2/5.
Rasyonel sayılar 7. sınıfta ilk yazılının, sonrasında ise oran-orantı, denklem ve 8. sınıftaki kareköklü ifadelerin temeli. Bu yılki 7. sınıf konu sırası ve eski programa göre değişenler 7. sınıf matematik konuları yazısında.
Sık sorulan sorular
Rasyonel sayı nedir?
Rasyonel sayı, a ve b birer tam sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere a/b şeklinde yazılabilen sayıdır. Rasyonel sayılar kümesi Q harfiyle gösterilir. Örneğin 3/4, −2/5, 7 (= 7/1) ve 0,5 (= 1/2) rasyonel sayılardır.
Her tam sayı rasyonel sayı mıdır?
Evet. Her tam sayı paydası 1 olan bir kesir olarak yazılabilir: −4 = −4/1, 0 = 0/1. Bu yüzden doğal sayılar ve tam sayılar, rasyonel sayılar kümesinin içindedir. Ancak her rasyonel sayı tam sayı değildir; 1/2 rasyoneldir ama tam sayı değildir.
Devirli ondalık gösterim nedir?
Virgülden sonra bir ya da birkaç basamağın sonsuza kadar aynı sırayla tekrar ettiği ondalık gösterimdir. 1/3 = 0,333… (3 devreder), 5/6 = 0,8333… (3 devreder), 1/11 = 0,0909… (09 devreder). Devreden basamakların üzerine çizgi çekilerek gösterilir.
Hangi kesirler sonlu ondalık gösterime sahiptir?
Sadeleştirilmiş kesrin paydası yalnızca 2 ve 5 asal çarpanlarından oluşuyorsa ondalık gösterim sonludur (örneğin 3/8, 7/20). Paydada 3, 7, 11 gibi başka bir asal çarpan varsa ondalık gösterim devirlidir (örneğin 1/3, 2/7).
Rasyonel sayılar kaçıncı sınıf konusu?
2026-2027'de uygulanan Maarif Modeli programında rasyonel sayılar 7. sınıfın ilk teması olan Sayılar ve Nicelikler'de tam sayılarla birlikte işlenir ve 7. sınıf 1. dönem 1. yazılının kapsamındadır.