Tam sayılar, negatif tam sayılar, sıfır ve pozitif tam sayılardan oluşan sayılardır: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Kesirli ya da ondalıklı kısımları yoktur. Sıfır ne pozitif ne negatiftir; pozitif ve negatif tam sayıları ayıran noktadır. Tam sayılar kümesi Z harfiyle gösterilir.
2026-2027’de tam sayılar, rasyonel sayılarla birlikte 7. sınıfın ilk temasında işleniyor ve 7. sınıf 1. yazılının kapsamında. Aşağıda konuyu sayı doğrusundan başlayıp dört işleme kadar adım adım anlattık.
Sayı doğrusu ve tam sayıların sıralanması
Sayı doğrusunda sıfırın sağında pozitif, solunda negatif tam sayılar yer alır. Sağa gidildikçe sayılar büyür.
- −3 > −7, çünkü −3 sayı doğrusunda −7’nin sağında. Negatif sayılarda “rakamı büyük olan küçüktür”: −7 borç, −3 borçtan daha kötüdür.
- Her pozitif tam sayı, her negatif tam sayıdan büyüktür: 1 > −100.
- En büyük ya da en küçük tam sayı yoktur; sayı doğrusu iki yöne de sonsuza gider.
Mutlak değer
Bir tam sayının sıfıra olan uzaklığına mutlak değeri denir ve |a| ile gösterilir. Uzaklık negatif olamayacağı için mutlak değer hep sıfır ya da pozitiftir.
- |−5| = 5, |5| = 5, |0| = 0
- Ters işaretli sayılar sıfıra eşit uzaklıktadır: 5 ile −5’in mutlak değerleri eşittir.
Mutlak değer, işlemlerde işareti ayrı düşünüp sayıların “büyüklüğünü” karşılaştırmak için kullanılır.
Tam sayılarla toplama
| Durum | Kural | Örnek |
|---|---|---|
| İki sayı da pozitif | Topla, sonuç pozitif | 4 + 7 = 11 |
| İki sayı da negatif | Mutlak değerleri topla, sonuç negatif | (−4) + (−7) = −11 |
| İşaretler farklı | Büyük mutlak değerden küçüğü çıkar, mutlak değeri büyük olanın işaretini yaz | (−9) + 4 = −5 · 9 + (−4) = 5 |
| Ters işaretli sayılar | Toplam sıfır | (−6) + 6 = 0 |
Pratik düşünme yolu: Pozitif sayıyı “alacak”, negatifi “borç” gibi düşünün. 9 lira borcu olan biri 4 lira kazanırsa hâlâ 5 lira borçludur: (−9) + 4 = −5.
Tam sayılarla çıkarma
Çıkarma, çıkarılan sayının işaretini değiştirip toplamaya çevrilir: a − b = a + (−b).
- 5 − (−3) = 5 + 3 = 8
- −4 − 6 = −4 + (−6) = −10
- −2 − (−9) = −2 + 9 = 7
Sık yapılan hata, “−4 − 6” işleminde işaretleri karıştırıp −2 ya da 2 yazmak. İşlemi önce toplamaya çevirmek bu hatayı büyük ölçüde önler.
Tam sayılarla çarpma ve bölme
| İşaretler | Sonuç | Çarpma | Bölme |
|---|---|---|---|
| (+) ve (+) | + | 3 · 4 = 12 | 12 ÷ 4 = 3 |
| (−) ve (−) | + | (−3) · (−4) = 12 | (−12) ÷ (−4) = 3 |
| (+) ve (−) | − | 3 · (−4) = −12 | 12 ÷ (−4) = −3 |
| (−) ve (+) | − | (−3) · 4 = −12 | (−12) ÷ 4 = −3 |
Kısaca: aynı işaret artı, farklı işaret eksi. Birden fazla çarpanda negatif çarpan sayısı çiftse sonuç pozitif, tekse negatiftir: (−1) · (−2) · (−3) = −6.
Bu kural 8. sınıftaki üslü ifadelerde de kullanılır: (−2)⁴ = 16 (dört negatif çarpan, çift), (−2)³ = −8 (üç negatif çarpan, tek). −2⁴ ise −(2⁴) = −16’dır, çünkü üs parantez olmadığında yalnızca 2’ye aittir.
Günlük hayatta tam sayılar
Örnek 1: Sıcaklık. Erzurum’da gündüz sıcaklık 4 °C, gece −9 °C ölçüldü. Gece ile gündüz arasındaki fark kaç derecedir? 4 − (−9) = 4 + 9 = 13 °C.
Örnek 2: Asansör. 3. kattaki asansör 5 kat aşağı iniyor. Hangi kata gelir? 3 + (−5) = −2, yani 2. bodrum kat.
Örnek 3: Deniz seviyesi. Deniz seviyesinin 120 m altındaki bir denizaltı 45 m yükseliyor. Denizaltı nerededir? −120 + 45 = −75, yani deniz seviyesinin 75 m altında.
Örnek 4: Hesap bakiyesi. Banka hesabında 250 TL olan biri 400 TL’lik alışveriş yapıyor ve hesabı eksiye düşüyor. Bakiye kaç TL olur? 250 − 400 = −150 TL.
Alıştırmalar (cevaplı)
- −8, 3, 0, −12, 7 sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.
- |−14| − |6| işleminin sonucu kaçtır?
- (−15) + 9 − (−4) işleminin sonucu kaçtır?
- (−6) · (−5) ÷ (−3) işleminin sonucu kaçtır?
- Bir dalgıç deniz seviyesinin 18 m altından, önce 7 m aşağı iniyor, sonra 12 m yukarı çıkıyor. Dalgıcın son konumu nedir?
- Toplamları −3, farkları 11 olan iki tam sayıdan büyüğü kaçtır?
Cevaplar:
- −12 < −8 < 0 < 3 < 7
- 14 − 6 = 8
- (−15) + 9 = −6; −6 − (−4) = −6 + 4 = −2
- (−6) · (−5) = 30; 30 ÷ (−3) = −10
- −18 + (−7) + 12 = −13, yani deniz seviyesinin 13 m altında.
- Büyük sayı a, küçük sayı b: a + b = −3 ve a − b = 11. Taraf tarafa toplarsak 2a = 8 → a = 4 (b = −7; kontrol: 4 + (−7) = −3, 4 − (−7) = 11).
Tam sayılar, rasyonel sayıların ve 7. sınıftaki bütün cebir konularının temeli. Özellikle işaret kuralları oturmazsa denklemler ve eşitsizliklerde hatalar büyüyor. 7. sınıfın bu yılki konu sırasını ve eski programa göre neyin değiştiğini 7. sınıf matematik konuları yazısında bulabilirsiniz.
Sık sorulan sorular
Tam sayılar nedir?
Tam sayılar; negatif tam sayılar (−1, −2, −3, …), sıfır ve pozitif tam sayılardan (1, 2, 3, …) oluşan sayı kümesidir. Kesir ya da ondalık kısmı olmayan sayılardır ve sayı doğrusunda sıfırın iki yanına eşit aralıklarla dizilirler.
0 pozitif mi negatif mi?
Sıfır ne pozitif ne de negatif tam sayıdır. Sayı doğrusunda pozitif ve negatif tam sayıları ayıran başlangıç noktasıdır.
Tam sayılarla çıkarma nasıl yapılır?
Çıkarma işlemi, çıkarılan sayının ters işaretlisiyle toplama işlemine çevrilir. Örneğin 5 − (−3) = 5 + 3 = 8 ve −4 − 6 = −4 + (−6) = −10 olur.
Negatif sayı ile negatif sayının çarpımı neden pozitif?
Bir sayıyı −1 ile çarpmak onun işaretini değiştirir. −3 · (−2) işlemi, 3 · 2 = 6 sonucunun işaretini iki kez değiştirmek demektir; iki kez değişen işaret başladığı yere, yani pozitife döner. Bu yüzden aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitiftir.
Tam sayılar kaçıncı sınıf konusu?
2026-2027'de uygulanan Maarif Modeli programında tam sayılar, rasyonel sayılarla birlikte 7. sınıfın ilk temasında (Sayılar ve Nicelikler) işlenir ve 7. sınıf 1. dönem 1. yazılının kapsamındadır.